Комплексное триединство Эйлера: о чём молчат современные учебники по высшей математике

Впервые комплексные числа встречаются в знаменитой работе итальянского математика Джероламо Кардано “Ars Magna” (“Великое искусство”) написанная в 1545 году, где он решил задачу разделение 10 на две части, чтоб произведение которых равнялась 40. История умалчивает, почему именно эта задача привлекла внимание Кардано, но система уравнений сводилась к квадратному уравнению, корнями которого были выражения с корнями из отрицательного числа $5\pm\sqrt{-15}$ Фактически это первое применение знаменитой теоремы Виета, хотя сама теорема была обнародована в 1615 году, когда были опубликованы последние работы Франсуа Виета, скончавшегося 1603 году.

Геометрические построения Архимеда при выводе формулы площади круга

В истории математики такое было не раз, когда фактически применение какого-либо математического инструмента было раньше, чем его открытие. Стоит вспомнить как Архимед древнегреческий ученый, живший в 3 веке до нашей эры, вывел формулу круга. Он фактически разбил его на мелкие сектора и сложил из них прямоугольник и понял, что если угол сектора будет стремиться к нулю, то получиться прямоугольник с длинами $\pi\cdot r$ и r. Откуда площадь круга будет равна площади этого прямоугольника, то есть $\pi\cdot r^2$ . Фактически он тут применил интегрирование на много раньше, чем оно было открыто независимо Исааком Ньютоном 1664-1666 годах и Готфрид Лейбницем в 1675 г.

Но сам Кардано не поверил, что он открыл. Он по поводу: “Эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны” и “арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного”. С психологической точки зрения это понятно, так как для того времени комплексные числа были совершенно новым. А наша психика относится к совершенно новом с осторожностью, так как неизвестно, к чему приведет это новое. И инстинкт самосохранения блокирует понимания этого нового.

Итальянский математик и инженер-гидротехник Рафаэль Бомбелли в работе, опубликованной в 1572 году, где показал, что, если даже решать кубическое уравнения, имеющее все действительные корни применяя формулу Кардано в промежуточных вычислениях могут появляться числа с квадратными корнями из отрицательных чисел. Он же дал правила как производить арифметические действия (сложения, вычитания, умножение и деление) с комплексными числами и показал, что сумма двух сопряженных чисел есть действительное. Там самым дал начало практическому применению комплексных чисел.

Но история науки нам говорит, что сначала идет набор фактов по какой-либо проблеме, а потом кто-то их пытается систематизировать.

Леонард Эйлер впервые исследовал комплексные числа в математическом анализе и тем самым заложил фундамент для нового раздела математики – функции комплексного переменного. Основные результаты этого исследования были опубликованы в его двухтомном труде “Introductio in analysin infinitorum” (“Введение в анализ бесконечности), написанный на латыне и опубликованный в 1748 году.

Хотя некоторые его формулы, касающиеся комплексных чисел, встречается раньше в работах других ученых. Так, например, знаменитая формула представления комплексного числа в экспоненциальной форме:

$e^{\iota\cdot x}=\cos x+\iota \cdot \sin x \,\,\,\,\,(1)$

впервые была приведена в статье “Логометрия” (лат. Logometria) английского математика Роджера Котса (помощника Исаака Ньютона) опубликованной в журнале “Философские труды Королевского общества” в 1714 году и перепечатанной книге “Гармония мэр” (лат. Harmonia Mensurarum), которая была издана в 1722 году уже после смерти автора.

Котс привел ее как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке имеет следующий вид:

$\ln \left( \cos x+\iota \cdot \sin x\right) =\iota \cdot x$

Тут хочу прервать свой небольшой исторический экскурс в историю комплексных чисел и показать, как выводится указанная формула, так как считаю, что в истории науки самое интересное не исторические факторы, а как ученные додумались до их открытий. Не берусь утверждать, что именно таким способом Эйлер доказал формулу представления комплексных чисел экспоненциальной форме.

Чтобы вывести данную формулу, нужно вспомнить разложение в ряд Маклорена следующих функций:

$\mathrm{e}^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$ $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^n\cdot x^{2\cdot n+1}}{\left(2\cdot n+1\right)!}\,\,\,\,\,\,(3)$ $\sin x =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^n\cdot x^{2\cdot n}}{\left(2\cdot n\right)!}\,\,\,\,\,\,\,(4)$

Данные ряды сходятся при всех действительных числах.

Подставим в ряд Маклорена для функции $\mathrm{e}^x$ мнимое число $\iota\cdot x$ . Тогда получим:

$\mathrm{e}^{\iota\cdot x}=1+\frac{\iota\cdot x}{1!}+\frac{\left(\iota\cdot x\right)^2}{2!}+\frac{\left(\iota\cdot x\right)^3}{3!}+\frac{\left(\iota\cdot x\right)^4}{4!}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{\left(\iota\cdot x\right)^n}{n!}$

Раскроем степени, учтя, что ${\iota}^2 = -1;\,\,{\iota}^3 = -\iota;\,\,\,\iota^4 = 1;\,\,\,\iota^5 = \iota$ и так далее

$e^{\iota\cdot x}=1+\iota\frac{x}{1!}-\frac{x^2}{2!}-\iota\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\iota\frac{x^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\iota\frac{x^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots$

или

$e^{\iota\cdot x}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots+\iota\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\right)$

Сравнивая ряды последнего выражения с рядами Маклорена (3) и (4), можно записать следующее:

$\mathrm{e}^{\iota\cdot x}=\cos x+\iota\sin x$

Мы получили выражение, представляющее комплексного числа в показательной форме (1)

Но модуль комплексного числа $\mathrm{e}^{\iota\cdot x}=\cos x+\iota\cdot\sin x$ равен 1

Чтобы записать любое комплексное число $a+\iota\cdot b$ записать в показательной степени, надо найти модуль и аргумент этого числа:

Модуль комплексного числа равен

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

Аргумент комплексного числа является решением следующей системой уравнений

$\left\{\matrix{\cos\psi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\sin\psi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\right.$

Но практически во всех учебниках аргумент комплексного числа определяется как

$\psi=\mathrm{arctg}\frac{b}{a}$

что не совсем, верно, так как периодичность синуса и косинуса равен 2π, а периодичность тангенса равен π, то есть тангенс охватывает только половину окружности, а синус и косинус – всю окружность. Если вы определяете аргумент числа как тангенс, то надо делать поправку в зависимости от знаков a и b. Если же решать указанную систему, то отпадает надобность данной поправке.

Следовательно:

$a+\iota\cdot b=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\iota\cdot\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)=r\cdot e^{\iota\cdot\psi}$

Теперь давайте расширим экспоненциальную функцию на область комплексных чисел:

$\mathrm{e}^{a+\iota\cdot b}=\mathrm{e}^a\cdot\mathrm{e}^{\iota\cdot b}=\mathrm{e}^a\left(\cos b+\iota\cdot\sin b\right)\,\,\,\,(5)$

Это означает, что если область определения экспоненциальной функции расширить на комплексную область, то в ее аналитическом выражении появляются синус и косинус. А функция с комплексном аргументом является более общей функцией чем та же функция с действительным аргументом, так как комплексный аргумент обязательно включал в себя и область действительных чисел, когда b=0.

И тут мы видим поразительную вещь, что несмотря на то, что в действительной области функции $\mathrm{e}^x;\,\,\cos x$ и $\sin x$ относятся к разным классам: первая – к показательной, а вторые две – к тригонометрическим функциям. А когда мы переходим в комплексную плоскость, то эти функции удивительным образом объединяются. И это объединение заложено в показательной форме комплексного числа, которая логично выводится, как было показано выше.

Но не только это доказывает общую природу экспоненциальной функции и косинуса и синуса. Чтоб в этом убедится давайте рассмотрим линейные однородные уравнения второго порядка. Тут стоить отметить, что приведенные ниже рассуждения относятся и к линейным однородным уравнениям более высокого порядка.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий вид:

$y''+a\cdot y'+b\cdot y=0\,\,\,\,\,(6)$

Из курса дифференциальных уравнений известно, что общее решение данного уравнение является следующий вид:

$y=C_1\cdot e^{k_1\cdot x}+C_2\cdot e^{k_2\cdot x}\,\,\,\,\,(7)$

Где k₁ и k₂ – корны характеристического уравнения исходного дифференциального уравнения

$k^2+a\cdot k+b=0$

Если a и b – действительные числа, то корни данного квадратного уравнения могут быть следующие:

Два разных действительных корня.
Два одинаковых действительных корня.
Два сопряженных комплексных корня. Какие будут корны данного квадратного уравнения определяется величиной его дискриминанта:

$D=a^2-4\cdot b$

А корни характеристического уравнения (7) вычисляются по формуле:

$k_{1;2}=\frac{-a\pm\sqrt{D}}{2}$

Нас больше всего интересует третий случай, когда корни характеристических уравнений являются сопряженные комплексные числа. Это возможно при D<0. В этом случае его корни будут следующие комплексные числа $k_{1;2}=c+\iota\cdot d$ .

В этом случае общее решение линейного однородного дифференциального уравнения, будет следующее:

$y=B_1\cdot\mathrm{e}^{c+\iota\cdot d}+B_2\cdot\mathrm{e}^{c-\iota\cdot d}$

Где B₁ и B₂ - комплексные числа Применим к последнему выражению расширенную формулу экспоненциальной функции на комплексную плоскость (5):

$y=B_1\cdot\mathrm{e}^{c\cdot x}\cdot\left(\cos\left(d\cdot x\right)+\iota\sin\left(d\cdot x\right)\right)+B_2\cdot\mathrm{e}^{c\cdot x}\cdot\left(\cos\left(d\cdot x\right)-\iota\sin\left(d\cdot x\right)\right)$

В последнем выражении вынесем член $e^{c\cdot x}$ за скобку и сгруппируем члены в скобках по косинусу и синусу. Тогда получим:

$y=e^{c\cdot x}\cdot\left(\left(B_1+B_2\right)\cdot c o s{\left(d\cdot x\right)}+j\left(B_1-B_2\right)\cdot s i n{\left(d\cdot x\right)}\right)\,\,\,\,\,(8)$

Так как общее решение данного дифференциального уравнения должно быть семейство действительных функций, то и коэффициенты при косинусе и синусе должны быть действительные функции. А это возможно только если комплексные числа B₁ и B₂ будут сопряженными, то есть $B_1=u+\iota\cdot w$ и $B_2=u-\iota\cdot w$ Откуда имеем:

$B_1+B_2=u+\iota\cdot w+u-\iota w=2\cdot u=2\cdot \mathrm{Re}\left(B_1\right)$

$\iota\cdot\left(B_1-B_2\right) = \iota\cdot\left(u+\iota\cdot w -\left(u-\iota\cdot w\right)\right) = \iota^2\cdot 2\cdot w = -2 \cdot\mathrm{Im}\left(B_1\right)$

где $\mathrm{Re}\left(\right)$ и $\mathrm{Im}\left(\right)$ действительная и мнимая часть комплексного числа соответственно.

Тогда общее решение уравнения (6) можно записать так:

$y=e^{c\cdot x}\cdot\left(2\cdot\mathrm{Re}\left(B_1\right)\cdot\cos\left(d\cdot x\right)-2\cdot\mathrm{Im}\left(B_1\right)\cdot\sin\left(d\cdot x\right)\right)$

Фактически данное решение является общим решением однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка, когда корнями его характеристического уравнения являются два комплексных сопряженных числа.

Во всех практически современных учебниках вышеизложенные выкладки почему-то опускаются, а именно в них заключается красота математики. А дается уже готовое решение, записанное в более простой форме:

$y=\mathrm{e}^{c\cdot x}\cdot\left(C_1\cdot\cos\left(d\cdot x\right)+C_2\cdot\sin\left(d\cdot x\right)\right)$

где $С_1=2\cdot\mathrm{Re}\left(B_1\right)$ и $C_2=-2\cdot\mathrm{Im}\left(B_1\right)$

Давайте теперь найдем решение задачи Коши для данного линейного однородного дифференциального уравнения при y(0)=A; y’(0)=B в виде степенного ряда. Будем искать решение уравнения в следующем виде:

$y=\sum_{n=0}^{\infty}{c_n\cdot\ x^n}$

Тогда первая производная по x этого ряда будет:

$y'=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n+1}\cdot\left(n+1\right)\cdot x^n$

И вторая производная будет:

$y^{\prime\prime}=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n+2}\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n+2\right)\cdot x^n$

Подставляя в исходное линейное однородное уравнение (6) разложение в ряд функции и ряды первой и второй производной, получим:

$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n+2}\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n+2\right)\cdot x^n+a\cdot\sum_{n=0}^{\infty}c_{n+1}\cdot\left(n+1\right)\cdot x^n+b\cdot\sum_{n=0}^{\infty}c_n\cdot x^n=0$

Так как данное выражение должно соблюдаться для рядов, то коэффициенты при одинаковых степенях x, должны так же удовлетворять данному выражению. Откуда мы получим:

$x^n\cdot\left[c_{n+2}\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n+2\right)+a\cdot c_{n+1}\cdot\left(n+1\right)+b\cdot c_n\right]=0$

Так как xⁿ не всегда равно нулю, то выражение в квадратных скобках должно равняться нулю. Отсюда имеем следующее рекуррентное отношение для коэффициентов ряда:

$с_{n+2}=-\frac{b⋅c_n+a⋅\left(n+1⋅\right)\cdot c_{n+1}}{\left(n+1\right)⋅\left(n+2\right)}\,\,\,\,\,\,\,(9)$

Используя это рекуррентное отношение можно найти все коэффициенты ряда начиная с c₂.

Первые два коэффициента находится из начальных условий задачи Коши $c_0=y\left(0\right)=A$ и $c_1=y'\left(0\right)=B$ .

В общем случае невозможно записать данный ряд под знак суммы. Но для всех конкретный действительных значений a, b можно это сделать, так как уравнение (1) имеет аналитическое решения, и оно всегда выражается в элементарных функциях.

Можно также показать, что в знаменателе коэффициента n члена ряда всегда будет n!

Давайте для примера использования рекуррентной формулы (9) решим задачу Каши для дифференциального уравнения:

$y^{\prime\prime}-y=0;\,\,\,y\left(0\right)=y_0;\,\,\,y^\prime\left(0\right)=B\,\,\,\,\,(10)$

Из начальных условий имеем:

$c_3=-\frac{-y_0}{2!}=\frac{y_0}{2!}$ $c_4=-\frac{-B}{3!}=\frac{B}{3!}$

Анализируя первые четыре коэффициента ряда, можно записать следующее выражение:

$y=y_0\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2\cdot n}}{\left(2\cdot n\right)!}+B\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2\cdot n+1}}{\left(2\cdot n+1\right)!}\,\,\,\,\,(11)$

Чтобы убедится, что выражение (11) является решением задачи Коши (10), давайте найдем ее аналитическое решение, а затем разложим его в ряд Маклорена

Составим характеристическое уравнение для исходного дифференциального уравнения задачи Каши (10):

Корни данного квадратного уравнения будут $k_{1;2}=\pm1$

Отсюда общее решение нашего уравнения будет:

$y=C_1\cdot\mathrm{e}^\mathrm{x}+C_2\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{-x}}$

Чтобы найти С₁ и С₂ необходимо продифференцировать данное уравнения:

$y^\prime=C_1\cdot\mathrm{e}^\mathrm{x}-C_2\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{-x}}$

Приравняв полученное общее решение и его производную нашего примера при x=0, начальным условиям, получим систему линейных уравнений:

$\left\{\matrix{C1+C2=y_0\\C1-C2=B}\right.$

Откуда находим:

$C_1=\frac{y_0+B}{2}\,\,\,и\,\,\,C_2=\frac{y_0-B}{2}$

Следовательно, аналитическое решение задачи Коши (10) будет:

$y=\frac{y_0+B}{2}\cdot\mathrm{e}^\mathrm{x}+\frac{y_0-B}{2}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{-x}}$

В полученное аналитическое решение подставим ряд Маклорена для функции $\mathrm{e}^x$ (2)

$y=\frac{y_0+B}{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}+\frac{y_0-B}{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^n}{n!}$

Приведя подобные члены, мы получим:

$y=y_0\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2\cdot n}}{\left(2\cdot n\right)!}+B\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2\cdot n+1}}{\left(2\cdot n+1\right)!}$

что совпадает с выражением (11), что и требовалось доказать.

Источник: https://habr.com/ru/articles/1097560/

Вернуться к списку

Интересные статьи

Как ломать сайты на «1С-Битрикс»

Привет! Вероятно, тебе когда-нибудь попадались веб-приложения, построенные на «1С-Битрикс: Управление сайтом», и ты задавался вопросом: как это ломать? Вроде бы прошелся по всем известной методичке, н...

Когда НЕ нужно использовать Apache Kafka?

Apache Kafka де-факто превратился в стандарт потоковой передачи событий для обработки данных на лету. По мере его широкого распространения в отрасли появляются вопросы: «А когда НЕ нужно использов...

Разбираем английскую лексику из посадки марсохода Perseverance

Две недели назад весь мир наблюдал за успешной посадкой робота Perseverance на поверхность Марса и разговоров о космосе сразу стало на порядки больше. Инфоповод всколыхну...

Стандартные и пользовательские свойства в 1С-Битриксе

В 1С-Битрикс: Управление сайтом (как и в Битрикс24) десятки, если не сотни настраиваемых типов данных (или сущностей): инфоблоки, пользователи, заказы, склады, форумы, блоги и т.д. Стр...

Делаем правильно «Купить в 1 клик» в 1С-Битрикс

В интернет-магазинах, в том числе сделанных на готовых решениях 1C-Битрикс, часто неправильно реализован функционал быстрого заказа «Купить в 1 клик».