Моделирование управления AC двигателя — Field oriented control of PMSM с помощью opensource решений

В этой статье я хочу поделиться результатом своих исследований в области моделирования систем управления двигателями переменного тока. В качестве объекта управления был выбран синхронный двигатель с постоянными магнитами PMSM (Permanent Magnet Synchronous Machine) как наиболее распространенная машина в современных транспортных средствах. Основное внимание будет уделено построению математической модели системы, объекта управления, и алгоритмов для симуляции. Для реализации модели я выбрал open source решения: Python control, Scilab. Мне было интересно, возможно ли использование свободных средств моделирования для построения более-менее сложных и реальных систем. Далее я поделюсь своими впечатлениями. В первой части статьи приводится теоретический материал, где описываются основные уравнения двигателя и элементы теории управления. Для теоретической части необходимы базовые понимания электротехники, ниже приложу ссылки, где можно обновить знания. Я постарался проработать разные источники литературы, чтобы взять необходимый минимум, с которым самому пришлось столкнуться для понимания сути процессов управления двигателем. Читатель вправе пропустить матчасть и перейти сразу к описанию реализации, и при необходимости вернуться к некоторым теоретическим аспектам в этом материале, или других источниках. Реализация алгоритмов управления построена по классическому принципу с помощью диаграммы потоков.

Содержание

• Векторное управление: концепции и принципы

• Источники для быстрого старта

• Обобщенная электрическая машина

• Пространственно-векторное представление

• Преобразование Кларка - ABC to αβ (Clarke Transformation)

• Преобразование Парка - αβ to dq (Park Transformation)

• Синхронная машина с постоянными магнитами - PMSM

• Уравнения PMSM в координатах dq

• Основы теории управления

  • Представление систем в пространстве состояний

    • Переходная функция

      • Переходная характеристика системы первого порядка

  • Импульсная характеристика (весовая функция)

    • Связь импульсной и переходной характеристик

  • Преобразование Лапласа

  • Передаточная функция

  • Основные типы динамических звеньев

    • Усилительное звено

    • Апериодическое звено

    • Интегрирующее звено

    • Дифференцирующее звено

    • Запаздывающее звено

  • Структурные схемы

  • Системы с обратной связью

  • Открытые и замкнутые системы

  • Положительная и отрицательная обратная связь

  • Преимущества и недостатки обратной связи

  • Дискретные системы автоматического управления

    • Дискретизация сигнала

    • Дискретное описание системы

• Диаграмма алгоритма управления FOC

  • Измерение токов и преобразования координат

  • Определение скорости и регулирование тока

  • Инверсия преобразований и ШИМ-модуляция

  • Аппаратное обеспечение

    • Транзисторные стойки в силовых схемах

  • Модель PI-регулятора

  • Управление скоростью вращения двигателя PMSM

  • Логика формирования опорного тока

  • Регуляторы тока

  • Ограничения и насыщение сигналов

  • Векторная широтно-импульсная модуляция (SVPWM) в системе управления FOC

    • Основные принципы работы PWM

    • Описание алгоритма SVPWM

    • Новый алгоритм SVPWM

    • Пример реализации алгоритма SVPWM на Python

• Scilab

• Python Control

  • Создание передаточных функций

    • Способ 1: Использование переменной Лапласа

    • Способ 2: Использование массивов коэффициентов

    • Комбинирование передаточных функций

    • Последовательное соединение

    • Параллельное соединение

    • Обратная связь

  • Симуляция с передаточными функциями

  • Дискретные передаточные функции

    • Дискретизация передаточной функции

  • Динамическая система, реализующая сложные взаимосвязи

  • Выводы использования Python control

• Реализация модели системы управления PMSM

  • Генерация опорного тока - Current reference generation

  • Контроллер тока - Current controller

    • PI-регулятор

    • Реализация функции развязки напряжения

  • Контроллер скорости - Frequency Control

    • PI-регулятор скорости

  • Реализация Frequency control

  • Преобразователь напряжения - Voltage transformation

    • Обратное преобразование Парка - inverse_park_transform

    • Обратное преобразование Кларка - inverse_clarke_transform

  • Векторная широтно-импульсная модуляция (SVPWM)

  • Модель PMSM

    • Основные уравнения модели

• Параметры модели

• Симуляция системы управления

  • Результаты симуляции Scilab / Xcos

  • Симуляция Python control

• Заключение

• Используемые источники

Векторное управление: концепции и принципы

Электрические машинами переменного тока: асинхронные двигатели (IM), синхронные двигатели с постоянными магнитами (PMSM) являются основными в современных электрических приводах.
Существует два основных подхода к управлению машинами переменного тока: скалярное и векторное. Скалярное управление проще в реализации и обеспечивает стабильные рабочие характеристики, но его динамика ограничена, поскольку оно не управляет переходными процессами. Для достижения высокой точности и быстрого отклика были разработаны векторные методы управления, использующие замкнутые контуры обратной связи.

Использование регулируемых приводов позволяет значительно снизить энергопотребление и обеспечить быстрый и точный отклик в промышленных приложениях. В 1970-х годах были предложены принципы управления моментом и потоком, получившие название Field-Oriented Control, FOC или векторное управление. Изначально они применялись для асинхронных машин с короткозамкнутым ротором, а позже — для синхронных машин. Основная идея векторного управления заключается в управлении векторами тока статора аналогично тому, как это делается в двигателях постоянного тока, но с более сложными алгоритмами.

Метод векторного управления был впервые предложен Blaschke в 1970-х годах как способ решения этой проблемы. Основной принцип управления по ориентации поля (FOC) позволил добиться независимого управления моментом и потоком.

Ключевая идея метода заключается в представлении переменных в произвольной системе координат. Если система координат вращается вместе с вектором магнитного потока, то метод управления называется поток-ориентированным (Field-Oriented Control), ротор-ориентированным и т. д. Это позволяет применять линейные методы управления, аналогичные подходам для двигателей постоянного тока, но с учетом особенностей машин переменного тока.

Источники для быстрого старта

Действия с матрицами - Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами.
Лекции и уроки по высшей математике
PMSM motor vector control за две минуты
Электротехник Равилов - Канал посвящен задачам и теориям по электротехнике
Field Oriented Control of Permanent Magnet Motors - объяснения FOC от Dave Wilson Texas Instruments
Motor Control - онлайн-курс от STMicroelectronics
Репозиторий с примерами статьи

Обобщенная электрическая машина

В конце 1950-х годов американские исследователи Дэвид Уайт и Херберт Вудсон предложили метод представления любых электромеханических преобразователей в виде универсальной электромагнитной машины. В основе этой модели лежит концепция с двухфазным явнополюсным статором и неявнополюсным ротором. Они доказали, что любую n-фазную электрическую машину можно эквивалентно преобразовать в двухфазную систему с помощью фазовых преобразований.

На момент создания данной модели приводы постоянного тока преобладали в промышленности, поэтому конструкция предполагала наличие явнополюсного статора, а ротор, напротив, был гладким. В случае явнополюсных синхронных машин, требующих четко выраженных полюсов на роторе, ученые предложили использовать обратную модель машины.

Модель Уайта и Вудсона характеризуется наличием необходимого числа пар полюсов, что определяет коэффициент электромеханического преобразования. Для упрощения расчетов введены допущения, такие как линейность машины (отсутствие насыщения). Также предполагается синусоидальное распределение плотности витков по углу, что влечет за собой синусоидальную форму магнитной индукции.

На рисунке представлена схема машины. Оси α и β жестко связаны со статором, на котором размещены две ортогональные обмотки. Эти обмотки показаны в виде концентрированных катушек. Входящий в плоскость рисунка ток обозначен крестиком в кружке, а выходящий — точкой. Катушка фазы α расположена так, что формирует магнитное поле вдоль оси α. На рисунке система изображена в виде пространственных электрических цепей. Индуктивность обмотки статора по оси α также генерирует магнитное поле вдоль этой оси. Для наглядности активные сопротивления обмоток в схеме не показаны, однако их влияние учитывается в уравнениях:

где , — напряжения фаз статора, , — токи фаз статора, — сопротивление обмоток (считается одинаковым для обеих фаз), , — потокосцепления фаз статора.

Ротор может свободно вращаться, а его обмотки ориентированы вдоль осей d и q, которые привязаны к положению ротора. Уравнения для ротора принимают следующий вид:

где , — напряжения ротора, , — токи обмоток ротора, — сопротивление (одинаковое для обеих фаз), , — потокосцепления фаз ротора.

Таким образом, модель Уайта и Вудсона позволяет универсально описывать поведение различных электромагнитных машин, сводя их к двухфазному представлению, что упрощает анализ и расчеты.

Пространственно-векторное представление

Трехфазная машина переменного тока может быть описана с использованием метода пространственных векторов. Переменные двигателя KA(t), KB(t), KC(t) для симметричной машины удовлетворяют условию:

Суммирование этих переменных дает пространственный вектор:

где и
На рисунке ниже показан комплексный пространственный вектор тока статора.

Пространственный вектор K может представлять переменные двигателя (например, ток, напряжение и поток). Принцип векторного управления машин переменного тока использует преобразования переменных из физической трехфазной системы ABC в неподвижную систему отсчета αβ или вращающуюся систему отсчета dq. Первое преобразование может быть выполнено в неподвижную систему отсчета αβ - преобразование Кларка (Clark transformation), а затем во вращающуюся систему отсчета dq - преобразование Парка (Park transformation).

Преобразование Кларка - ABC to αβ (Clarke Transformation)

Синусоидальные трехфазные переменные можно представить в виде пространственного вектора, выраженного на двух ортогональных осях (αβ), как показано на рисунке.

Вектор тока статора описывается следующем комплексным выражением:

где:

Тогда

Или эквивалентно в матричной форме:

Реализация на Python для токов:

    def clarc_transform(i_a, i_b):
        i_y = (1/math.sqrt(3))*(i_a + 2*i_b)
        i_x = i_a
        return i_x, i_y

Реализация на Python для напряжений

    def clark_transform(u_a, u_b):
        u_y = 1/math.sqrt(3)*u_a + 2/math.sqrt(3)*u_b
        u_x = u_a
        return u_x, u_y

Обратное преобразование Кларка из αβ в ABC:

Преобразование Парка - αβ to dq (Park Transformation)

Здесь проецируются фазовые компоненты αβ в неподвижной системе отсчета на вращающуюся систему отсчета dq с угловой скоростью ωk. Если мы рассмотрим ось d, совмещенную с потоком ротора по оси d, то мы говорим о системе, ориентированной на поток ротора. В качестве примера, пространственный вектор тока статора и его компонент в (α,β) и в (d,q) показаны на рисунке.

Вектор тока в dq-координатах:

Что эквивалентно:

В матричной форме:

Реализация на Python для токов:

    def park_transform(i_sa, i_sb, gamma):
        i_d = i_sa*math.cos(gamma) + i_sb*math.sin(gamma)
        i_q = -i_sa*math.sin(gamma) + i_sb*math.cos(gamma)
        return i_d, i_q

Обратное преобразование Парка:

Реализация на Python:

    def inverse_park(i_d, i_q, gamma):
        i_sa = i_d*math.cos(gamma) - i_q*math.sin(gamma)
        i_sb = i_d*math.sin(gamma) + i_q*math.cos(gamma)
        return i_sa, i_sb

Преобразование может быть применено ко всем пространственным векторам (например, напряжению статора, потоку ротора и т. д.).

Синхронная машина с постоянными магнитами - PMSM

В англоязычной литературе используется термин PMSM - Permanent Magnet Synchronous Machine. В дальнейшем будет использоваться эта аббревиатура.
На рисунке угол то же самое, что угол в уравнениях.

Электрические уравнения для для трехфазной синхронной машины:

где , , – собственная индуктивность фаз обмоток статора; , … – взаимная индуктивность между обмотками статора; – поток сцепления от постоянного магнита, пронизывающий катушку фазы А, зависящий от угла поворота ротора . Взаимные индуктивности статорных обмоток равны половине от максимальной взаимной индуктивности между катушками фаз А, В, С статора, если бы эти катушки можно было совместить (они расположены под углом 120°), то
Собственная индуктивность фаз обмоток статора складывается из индуктивности и индуктивности рассеяния . Если учесть, что , то

Аналогичные вычисления для других фаз; индуктивность фазы
Изменение с углом имеет вид

После подстановки (4) в (3) и в (1)

где .
Момент на валу определяется как производная от электромагнитной энергии W по углу поворота φ при постоянном магнитном потоке.
Электромагнитная энергия:

момент на валу:

Уравнения механической части двигателя:

Угол - важная часть всех уравнений, он отсчитывается от оси катушки А. Поля совпадут, если токи изменяются по закону косинуса с нулевой начальной фазой и частотой

Уравнения PMSM в координатах dq

Чтобы получить уравнения в координатах dq, необходимо произвести преобразования Clarke-Park в системе уравнений (5) из описания PMSM.
После всех алгебраических приведений с учетом числа пар полюсов p уравнения принимают следующий вид:

Схема PMSM для оси dq представлена ​​на рисунке. В PMSM основное магнитное поле создается постоянными магнитами. Эти магниты размещаются на роторе. Результирующий поток постоянен во времени, при условии, что ток статора не оказывает никакого влияния. В действительности ток статора создает собственное магнитное поле, влияющее на исходное, которое называется реакцией якоря.

Потокосцепление вдоль осей d и q

Где и — это поток рассеяния статора вдоль осей d и q соответственно;
- тоже что и - потокосцепление постоянного магнита, в различных источниках указываются разные индексы

Искажение магнитного поля зависит от положения и величины тока статора. В режиме холостого хода реакция якоря считается равной нулю из-за незначительного тока статора.

ЭДС, индуцированная в обмотках двигателя, согласно уравнений и приведенной схеме представлена в dq-координатах следующим образом:

Электромагнитный момент машины может быть получен путем анализа баланса мощности. Необходимо учитывать электрическую мощность, поставляемую машине от трехфазного источника напряжения, механическую мощность на валу ротора и мощность потерь. Исходя из выражения для электрической мощности, и используя баланс напряжения получаем следующее соотношение:

- мощность потерь в меди статора. Второе слагаемое определяет скорость изменения энергии, накопленной в магнитном цепи.
- электромагнитная мощность, она получается путем вычитания потерь из входной электрической мощности. Следовательно представляет собой меру преобразования электрической энергии в механическую работу. Электромагнитная мощность равна произведению внутреннего электромагнитного момента и скорости ротора . Этот момент является механическим взаимодействием между статором и ротором, вызванным электромагнитными силами, создаваемыми полем связи. Электромагнитный момент рассчитывается по выражению:

Вводя соотношения: и в приведенное выше выражение крутящего момента, получаем выражение для момента изотропной машины, в которой магнитная цепь имеет одинаковое магнитное сопротивление во всех направлениях:

Компонент потока представляет собой часть потока ротора, вызванного постоянными магнитами, которая охватывает обмотки статора. Небольшая часть потока постоянных магнитов не достигает сердечника статора и не вносит вклад в процесс электромеханического преобразования.
Магнитная цепь ротора может иметь нецилиндрическую форму, что вносит разницу в магнитные сопротивления вдоль осей d и q. Это приводит к разным собственным индуктивностям и обмоток виртуальных фаз статора. Поток виртуальной фазной обмотки статора по оси d равен , в то время как поток в виртуальной фазной обмотке статора q равен .
Выражение крутящего момента содержит дополнительный компонент, пропорциональный разнице самоиндукций по осям d и q. Этот компонент крутящего момента называется реактивным моментом, поскольку он появляется как следствие различий в магнитных сопротивлениях.

На рисунке показана роторная магнитная цепь с постоянными магнитами, встроенными во внутреннюю часть ротора. Магниты вложены вдоль оси d. Дифференциальная проницаемость постоянных магнитов близка к , и их присутствие на пути потока по оси d увеличивает магнитное сопротивление . При индуктивности фазных обмоток . Потокосцепления машины равны:

Различия между самоиндукциями и виртуальных фаз статора d и q влияют на выражение для электромагнитного момента:

Для построения автоматического управления PMSM модель двигателя удобно представить в виде дифференциальных уравнений состояний:

где — сопротивление статора; и — индуктивности ротора относительно осей d и q; — угловая скорость ротора; — момент инерции

Модель PMSM может быть представлена в виде следующей диаграммы потоков

Основы теории управления

Здесь я приведу только некоторые понятия теории управления, которые далее используются в алгоритмах системы. Я упускаю описание анализа системы на устойчивость и частотные характеристики. Для полного погружения в теорию систем управления можно использовать рекомендованную литературу или посмотреть курс лекций по ТАУ, который можно найти на просторах youtube.

Представление систем в пространстве состояний

Для удобства анализа моделей объектов управления их целесообразно приводить к стандартному виду, позволяющему применять существующие методы решения. В теории управления таким стандартом является система дифференциальных уравнений первого порядка, известная как нормальная форма Коши.

Рассмотрим модель электродвигателя при отсутствии внешней нагрузки, то есть . Учитывая, что угловая скорость связана с углом поворота вала соотношением:

можно записать уравнение движения двигателя в виде системы:

Запишем эту систему в матричной форме:

Здесь переменные и определяют текущее состояние системы. Если их значения известны в момент времени , а также задан входной сигнал для всех , можно однозначно определить поведение системы на будущее, вне зависимости от предшествующих значений. В связи с этим, и называются переменными состояния, а вектор:

– вектором состояния.

Приняв обозначения для вектора состояния и для входного сигнала, модель можно записать в стандартной форме:

где матрицы:

Эта модель описывает связь между входом системы и вектором состояния , поэтому она называется моделью вход-состояние.

Для полной характеристики системы вводится уравнение выхода, определяющее зависимость выходного сигнала от состояния и входа:

Совместно с уравнением состояния эта модель записывается в виде:

где матрицы C и D определяют, какие переменные состояния и входные сигналы формируют выход системы.

Например, если выходной переменной является угол поворота вала, то:

Если же выходом является угловая скорость двигателя, то:

Благодаря гибкости модели (возможности варьировать матрицы C и D), можно анализировать различные параметры системы, выбирая в качестве выхода любую линейную комбинацию переменных состояния и входного сигнала.

Если параметры системы (например, момент инерции J, сопротивление якоря R, коэффициенты и ) остаются неизменными во времени, модель является стационарной. В противном случае она называется нестационарной.

Переходная функция

Один из распространённых способов моделирования динамических систем методом «вход-выход» — анализ реакции системы на стандартные тестовые сигналы. Одним из таких сигналов является так называемый единичный скачок (или ступенчатый сигнал), который представляет собой мгновенное изменение входного сигнала с 0 до 1 в момент времени t = 0:

Реакция системы на этот сигнал называется переходной функцией h(t). При этом предполагается, что начальное состояние системы — нулевое, то есть все её внутренние переменные равны нулю, а накопленная энергия отсутствует.

Если начальные условия отличны от нуля, для расчёта выходного сигнала при любом входе требуется учитывать дифференциальные уравнения системы или её модель в пространстве состояний. Таким образом, переходная характеристика содержит меньше информации, чем полное математическое описание системы.

Переходная характеристика системы первого порядка

Рассмотрим систему, описываемую линейным дифференциальным уравнением первого порядка:

где:

• k — коэффициент усиления (безразмерный),

• T — постоянная времени, характеризующая инерционность системы (измеряется в секундах).

Рассчитаем переходную характеристику для данной системы, предполагая, что входной сигнал x(t) представляет собой единичный скачок x(t) = 1 при t > 0. Решение уравнения при начальном условии y(0) = 0 даёт:

График переходной функции показывает, что при увеличении T выход y(t) достигает установившегося значения медленнее. Таким образом, постоянная времени T характеризует инерционность системы: чем больше её значение, тем медленнее система реагирует на изменение входного сигнала.

Практически ступенчатый сигнал можно легко воспроизвести в экспериментальных условиях, что делает переходную характеристику удобной для исследования динамических свойств системы.

Импульсная характеристика (весовая функция)

В качестве тестового входного воздействия можно использовать не только ступенчатый сигнал, но и импульсный. Рассмотрим, что произойдёт, если использовать прямоугольный импульс малой ширины, но фиксированной площади.

По мере уменьшения ширины импульса его амплитуда будет расти, и в пределе, когда ширина стремится к нулю, амплитуда станет бесконечной. Это приводит к понятию единичного импульса или дельта-функции Дирака δ(t), которая определяется следующим образом:

при этом её интеграл равен единице:

Так как дельта-функция является формально бесконечным импульсом, на графиках её принято изображать в виде стрелки.

Связь импульсной и переходной характеристик

Реакция системы на единичный импульс δ(t) называется импульсной характеристикой и обозначается w(t). Она связана с переходной функцией следующим соотношением:

Наоборот, переходную функцию можно выразить через импульсную характеристику:

Для системы первого порядка с переходной функцией , импульсная характеристика равна:

Импульсная характеристика также называется весовой функцией, так как выходной сигнал y(t) при любом входном воздействии x(t) можно выразить через свёртку:

Этот интеграл показывает, что весовая функция w(t) определяет вклад каждого значения входного сигнала в формирование выходного отклика системы.

В отличие от ступенчатого сигнала, мгновенный импульс бесконечной величины невозможно реализовать физически, поэтому импульсную характеристику нельзя получить напрямую в эксперименте, а её вычисляют косвенными методами.

Преобразование Лапласа

Одной из задач, поставленных а теории управления - вычисление выхода системы при известном входе. Для этого необходимо решать дифференциальные уравнения. Чтобы упростить процедуру, математики придумали преобразование, которое позволило заменить решение дифференциальных уравнений алгебраическими вычислениями, то есть, операциями с полиномами и рациональными функциями.
Для функции вводится преобразование Лапласа, которое обозначается как

Функция - называется изображением для функции оригинала . Здесь - это
комплексная переменная, которая выбирается так, чтобы интеграл сходился.
Обратное преобразование Лапласа позволяет вычислить оригинал по известному изображению :

где , а постоянная выбирается так, чтобы интеграл сходился. На практике вместо интеграла чаще всего используют готовые таблицы, по которым можно сразу определить изображение по оригиналу и наоборот. Для оператора Лапласа свойственны линейные преобразования, такие как суперпозиция, т.е. оператор суммы равняется сумме операторов. При нулевых начальных условиях изображение производной равно изображению самой функции, умноженному на .

Передаточная функция

Выходной сигнал системы можно представить как результат действия некоторого оператора на ее вход. Для линейных моделей такой оператор можно записать следующим образом.
Пусть модель объекта задана линейным дифференциальным уравнением второго порядка, связывающим вход и выход :

где и - постоянные.
Применим к левой и правой частям преобразование Лапласа, считая, что все начальные условия нулевые. Получается уравнение в изображениях, связывающее преобразования Лапласа входа и выхода :

Можно вынести за скобки в левой части и в правой части:

Разделив обе части этого равенства на , получаем

где

- это это передаточная функция объекта, записанная в виде функции от комплексной переменной .
Таким образом, при нулевых начальных условиях изображение выхода линейного объекта вычисляется как произведение его передаточной функции на изображение входного сигнала. Из этого следует и другой важный вывод: передаточная функция равна отношению изображений по Лапласу выхода и входа при нулевых начальных условиях.
Нулями передаточной функции называются корни ее числителя, а полюсами – корни
знаменателя. Например, функция имеет нуль в точке λ = 1 и два полюса в точках λ = -1 и λ = -2.

Основные типы динамических звеньев

Современные системы управления состоят из отдельных функциональных блоков, каждый из которых описывается математическими уравнениями низкого порядка (чаще всего первого или второго). Чтобы эффективно анализировать поведение системы в целом, необходимо понимать, как ведут себя ее компоненты. При анализе характеристик сложной системы передаточную функцию разбивают на простейшие составляющие

Усилительное звено

Компоненты, обладающие ненулевым коэффициентом усиления постоянного сигнала, называются позиционными. Это означает, что их передаточная функция имеет ненулевые свободные члены в числителе и знаменателе:

Здесь коэффициент усиления определяет, во сколько раз входной сигнал усиливается на выходе. В идеальном случае выход мгновенно повторяет вход, но с усилением. Для ступенчатого входного воздействия выход также является ступенчатым, но увеличенным в раз. На синусоидальный входной сигнал усилитель действует без изменения фазы, а амплитудная частотная характеристика остается постоянной

Апериодическое звено

Апериодическое звено – одно из наиболее часто встречающихся в системах управления. Оно описывается дифференциальным уравнением:

Его передаточная функция имеет вид:

где – коэффициент усиления, а – постоянная времени, характеризующая инерционность элемента. Чем больше значение , тем медленнее выход реагирует на изменения входного сигнала.

Интегрирующее звено

Простым примером интегрирующего звена является резервуар с водой, где входной сигнал – расход воды, а выходной – уровень жидкости. Математически оно описывается уравнением:

Передаточная функция имеет вид:

При ступенчатом входе выходное значение возрастает линейно, что подтверждает накапливающий характер интегрирующего звена.

Интеграл от дельта-функции на любом интервале, включающем t=0, равен 1. Поэтому w(t) = k (при )

Дифференцирующее звено

Дифференцирующее звено формирует на выходе производную входного сигнала:

Передаточная функция:

производная единичного ступенчатого сигнала 1(t) в точке t=0 – это
дельта-функция δ(t) . Поэтому переходная и весовая функции дифференцирующего звена

На практике идеальные дифференцирующие звенья недостижимы из-за бесконечных значений производной, однако приближенные реализации широко используются для предсказания быстрых изменений в системах управления.

Запаздывающее звено

Запаздывание в системе проявляется в виде временного смещения сигнала. Примером может служить нагрев воздуха в трубе. Очевидно, что при изменении температуры воздуха датчик обнаружит это не сразу, а через время , где L - длина трубы, а v - скорость потока воздуха. В этом случае говорят, что в системе есть транспортное запаздывание на величину t.
Передаточная функция запаздывающего звена имеет экспоненциальную форму:

Запаздывание не изменяет форму сигнала, а лишь смещает его во времени.

Структурные схемы

Для наглядного представления структуры системы управления применяются блок-схемы. В таких схемах каждый элемент изображается в виде прямоугольника с его передаточной функцией, а сигналы обозначаются входными и выходными стрелками. В сложных системах элементы соединяются через сумматоры, развилки и обратные связи.

Для суммирующих элементов используют специальное обозначение – круг, разбитый на сектора. Если сектор залит черным цветом, или в нем стоит знак "минус", поступающий в него сигнал вычитается, а не складывается с другими. Разветвление сигнала обозначается точкой.

На следующем рисунке показана типичная схема системы управления кораблем по курсу. Здесь вход x – заданная величина, выход y – фактическая величина. Сигналы e , u и δ обозначают соответственно ошибку регулирования, сигнал управления и управляющее воздействие привода на объект. Сигнал g – это возмущение (влияние внешних факторов]), а m – шум измерений.

Основными способами соединения звеньев являются.
Последовательное, в котором выходной сигнал предыдущего звена является входным сигналом последующего звена

Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна
произведению передаточных функций звеньев, входящих в это соединение

Параллельное, в котором на вход всех звеньев подается одновременно
один и тот же входной сигнал, а выходные сигналы этих звеньев алгебраически
суммируются, образуя общую выходную величину

Передаточная функция параллельного соединения звеньев равна алгебраической сумме передаточных функций звеньев, входящих в это соединение

Системы с обратной связью

Динамическая система — это система, чье поведение изменяется во времени, зачастую в ответ на внешние воздействия. Обратная связь — это механизм, при котором две (или более) динамические системы связаны таким образом, что они оказывают влияние друг на друга, создавая тесную взаимосвязь в их динамике.

Открытые и замкнутые системы

На практике различают замкнутые (closed-loop) и разомкнутые (open-loop) системы. Если компоненты системы соединены в кольцо, то она считается замкнутой. Если же одно из звеньев разорвано, то система становится разомкнутой. В замкнутом контуре разделение на систему 1 и систему 2 носит условный характер — точка отсчета зависит от того, с какого элемента мы начинаем описание.

Положительная и отрицательная обратная связь

Отрицательная обратная связь - система стремится компенсировать отклонения и стабилизировать свое состояние. Однако существует и положительная обратная связь, при которой усиление сигнала вызывает его дальнейшее увеличение. Такое поведение может приводить к неустойчивости, но также используется в системах, требующих быстрого реагирования.

Примеры положительной обратной связи:

• Усиление аплодисментов в аудитории — чем громче хлопают одни, тем больше людей присоединяются.

• Лавинообразный рост в электронике, например, в триггерах или генераторах.

• В биологии — процесс свертывания крови, где один активированный белок запускает цепную реакцию активации других.

Преимущества и недостатки обратной связи

Обратная связь дает мощные инструменты для управления системами:

• Устойчивость к внешним воздействиям (например, поддержание температуры тела).

• Линеаризация нелинейных процессов (широко применяется в электронике).

• Автоматическое регулирование параметров (как в круиз-контроле автомобиля).

Однако у обратной связи есть и недостатки:

• Риск неустойчивости (системы могут самопроизвольно колебаться или даже выйти из-под контроля).

• Чувствительность к шумам (требуются специальные фильтры и компенсационные механизмы). Для контура с отрицательной обратной связью имеем следующее представление передаточной функций

Для доказательства заметим, что , а а изображение ошибки равно

Поэтому

Перенося в левую часть, получаем

Если обратная связь – положительная (сигналы x и f складываются), в знаменателе будет стоять знак «минус»:

Дискретные системы автоматического управления

Физический мир — это непрерывная аналоговая система, описываемая дифференциальными уравнениями. Компьютер же работает в дискретном времени. Дискретность по уровню можно игнорировать при достаточной разрядности АЦП, но дискретность по времени критична для быстродействующих систем управления.

Дискретизация сигнала

Аналоговый сигнал преобразуется в дискретный с помощью АЦП. При синхронизации с ШИМ и цифровым регулятором выборки определяются значениями сигнала в моменты kT:

При оверсемплинге (увеличении частоты дискретизации) формула усреднения приобретает вид:

где N — кратность оверсемплинга. Например, при N=8:

Оверсемплинг улучшает точность, усредняя данные за период ШИМ.

Для восстановления непрерывного сигнала используется цифро-аналоговое преобразование (ЦАП), чаще всего реализуемое как фиксатор нулевого порядка (ZOH). Он удерживает значение y[k] до следующего такта (k+1)T. В электроприводах роль ЦАП выполняет силовой инвертор с ШИМ, создающий сглаженное напряжение на обмотках двигателя.

После получения значения x[k] АЦП, цифровому регулятору требуется время на вычисления. Поэтому управляющее воздействие y[k+1] применяется с задержкой. Чтобы компенсировать этот сдвиг, возможно использование прогнозирования: регулятор вычисляет y[k], используя предсказанное значение x[k+1].

Дискретное описание системы

Дискретные процессы описываются разностными уравнениями:

Используя оператор сдвига z (zx[k] = x[k+1]), это уравнение преобразуется:

Передаточная функция в области z-преобразования:

Умножая на , избавляемся от отрицательных степеней:

Это позволяет формировать дискретную модель непрерывного объекта.

Процесс дискретизации включает два этапа:

• Квантование – деление сигнала по уровню или по времени:

  • При квантовании по уровню фиксируются значения, кратные шагу квантования .

  • При квантовании по времени значения принимаются в моменты, кратные (периоду дискретизации ).

  • Возможно комбинированное квантование.

• Модуляция – преобразование квантованного сигнала в дискретную последовательность (АИМ - амплитудно-импульсная модуляция, ШИМ - широтно-импульсная модуляция и т.п.)

На этапе преобразования непрерывного сигнала в дискретный возможно использовать общую математическую форму в виде решетчатой функции, представляемая через -функции:

где где T — период дискретизации. -функция - идеальный сигнал который равен нулю во всех точках, кроме t=0, где он уходит к бесконечность, причем его площадь (интеграл по всей оси времени) равен единице (см ранее).

Для анализа дискретных систем используются:

• Z-преобразование – аналог дискретного преобразования Лапласа.

• Дискретное преобразование Лапласа

Выбор интервала дискретизации опирается на теорему Котельникова-Шеннона, суть которой заключается в следующем. Пусть спектр сигнала ограничен максимальной частотой , тогда точное восстановление функции воз-
можно при частоте квантования , более чем в 2 раза превышающей максимальную частоту , т. е.

Определением дискретного преобразования Лапласа можно считать обычное преобразование Лапласа от решетчатой функции, то есть:

Также существуют таблицы переходов между функциями-оригиналами, их преобразованиями Лапласа и Z-преобразованиями
С помощью программных пакетов как Matlab, Scilab, Python control и т.п. можно выполнить z-преобразования. Вот пример скрипта в Scilab

s = poly(0, 's');  // комплексная величина
W_s = syslin('c', 1/s);  // Интегральное звено в непрерывном времени

T = 0.001;  // Период дискретизации
//Поскольку dscr принимает данные в формате пространства состояний, 
передаточные функции должны быть сначала преобразованы 
в описания пространства состояний.
W_ss = tf2ss(W_s);
W_zss = dscr(W_ss, T);  // Дискретизация интегрального звена
//и преобразовать обратно в передаточные функции
W_z = ss2tf(W_zss)
disp(W_z, "Передаточная функция в Z-пространстве:");

0.001  
-----  
-1 +z  
"Передаточная функция в Z-пространстве:"

Диаграмма алгоритма управления FOC

• PMSM — управляемый объект (plant) - синхронный двигатель

• F - программная фильтрация сигналов фазных токов

• P - датчик положения (инкрементальный, синусно-косинусный и др.)

• PI(w) - регулятор угловой скорости

• PI(Ψp) - регулятор потока

• PI(Id), PI(Iq) - регуляторы продольной и квадратурной составляющих тока

• e^+jα, e^-jα - преобразование Clarke

• 3/2, 2/3 - преобразование Park

• SVPWM - (Space Vector Pulse Width Modulation) пространственно-векторной ШИМ

• Gate driver - модуль управления затворами силовых ключей инвертора

• PWM Inverter - трехфазный силовой инвертер

Рассмотрим основные принципы алгоритма управления FOC на примере диаграммы управления потока.

В нижней части диаграммы находится двигатель PMSM, который выступает в качестве объекта управления. Управление двигателем осуществляется трехфазным инвертором на основе ШИМ (PWM). Программное обеспечение, будет регулировать скорость или положение ротора в соответствии с заданными параметрами.

Измерение токов и преобразования координат

Первый этап алгоритма FOC — измерение фазных токов двигателя с помощью шунтовых резисторов. Для подавления помех используются фильтры нижних частот, обозначенные на диаграмме буквой F. Можно измерять либо все три фазных тока, либо только два и вычислять третий.

Затем выполняется преобразование Clarke (Clarke transformation), переводящее измеренные трехфазные токи в двухфазную систему координат (XY). Это позволяет представить переменные токи в удобной для анализа форме.

Следующий шаг — преобразование Park (Park transformation), где, используя электрический угол потока ротора , мы определяем продольную (Id) и квадратурную (Iq) составляющие тока. Эти компоненты являются абстрактным представлением трехфазной системы, облегчающим работу регуляторов, так как переменные тока в DQ-координатах становятся аналогами DC-компонент (постоянного тока).

Определение скорости и регулирование тока

Скорость вращения ротора вычисляется как производная его углового положения, измеряемого с помощью энкодера. В диаграмме этот процесс представлен блоком d/dt. Полученный сигнал скорости используется в контуре регулирования скорости для определения требуемого момента (в ньютонах-метрах). На практике для измерения угловой скорости вращения используют ABI-инкрементальный энкодер или синусно-косинусный абсолютный энкодер. В нашей модели мы будем программно вычислять скорость в блоке PMSM.

Зная параметры двигателя, можно рассчитать требуемую квадратурную составляющую тока Iq, поскольку именно она отвечает за генерацию момента. Для рассматриваемой модели Id принимается равным нулю, однако возможные эффекты ненулевой продольной составляющей будут рассмотрены позже.

PI-регуляторы для Id и Iq вычисляют соответствующие напряжения, которые затем используются для управления инвертором. В системе электроприводов напряжение является основным управляющим воздействием, и задача FOC состоит в том, чтобы корректировать его так, чтобы достичь заданных значений момента, скорости или положения.

Инверсия преобразований и ШИМ-модуляция

После расчета напряжений в системе DQ выполняется обратное преобразование Park-Clarke, чтобы получить опорные фазные напряжения Va, Vb, Vc для двигателя.
Оптимальное распределение напряжений в трехфазной системе обеспечивается методом пространственно-векторной ШИМ - SVPWM (Space Vector Pulse Width Modulation), который эффективно использует доступное напряжение шины постоянного тока.

Аппаратное обеспечение

В современных системах управления электродвигателями используются три основных типа силовых транзисторов:

• MosFET (Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor) — отличается высокой скоростью переключения (до сотен килогерц) и низкими потерями при работе на малых и средних мощностях. Идеален для применения в высокочастотных инверторах.

• IGBT (Insulated Gate Bipolar Transistor) — биполярный транзистор с изолированным затвором, который сочетает преимущества высоковольтных биполярных транзисторов и управляемости полевых транзисторов. Работает в диапазоне частот от единиц до десятков килогерц, оптимален для мощных промышленных приводов.

• GTO (Gate Turn-Off Thyristor) — запираемый тиристор, предназначенный для управления большими токами и напряжениями. Ограничен по частоте коммутаций (~500 Гц), но применяется в мощных преобразовательных системах.

Для управления электродвигателями транзисторы чаще всего используются в составе модулей силовой электроники, которые включают в себя:

• IPM (Intelligent Power Modules) — интеллектуальные силовые модули с интегрированными драйверами и защитой.

• ASIPM (Application Specific Intelligent Power Modules) — специализированные модули, дополнительно оснащенные датчиками тока, термоконтролем и выпрямительными блоками.

Транзисторные стойки в силовых схемах

Ключевым элементом силовых схем преобразователей частоты является транзисторная стойка — конфигурация, состоящая из двух последовательно соединенных транзисторов и параллельно включенных защитных диодов. Такие стойки формируют основу для построения инверторов, выпрямителей и других силовых цепей управления электродвигателями.

Рисунок - варианты исполнения стойки

Существуют различные конфигурации транзисторных модулей:

• Одиночный транзистор с защитным диодом — используется в мощных драйверах.

• Стойка из двух транзисторов — применяется в однофазных инверторах.

• Модуль из 6-7 транзисторов — формирует трехфазный инвертор для управления асинхронными и синхронными двигателями.

Рисунок - стойка в составе преобразователя с питанием от сети однофазного переменного тока

Трехфазный инвертор — это силовой преобразователь, предназначенный для формирования переменного напряжения из постоянного. Инверторы работают по принципу широтно-импульсной модуляции ШИМ (PWM), при которой выходное напряжение переключается между напряжением шины DC-link и «землей» с высокой частотой. Среднее значение выходного напряжения регулируется за счет изменения скважности ШИМ-сигнала, то есть соотношения времени включенного и выключенного состояний силовых ключей.

Современные инверторы поддерживают управление в четырех квадрантах, что позволяет электродвигателю работать в обоих направлениях как в моторном, так и в генераторном режимах. Это достигается за счет возможности формирования как положительных, так и отрицательных фазных напряжений.

Модель PI-регулятора

Математически PI-регулятор описывается следующим уравнением:

где:

• - выходной сигнал регулятора (опорный момент или ток в квадратурной оси);

• e(t) - ошибка сигнала;

• - коэффициент пропорционального усиления;

• коэффициент интегрального усиления.

Выбор физических единиц входных и выходных сигналов критически важен, так как коэффициенты усиления и зависят от используемой системы измерений.

Управление скоростью вращения двигателя PMSM

Для управления скоростью вращения синхронного двигателя с постоянными магнитами (PMSM) необходимо задать опорное значение скорости, которое подается в регулятор скорости. В качестве обратной связи используется фактическая скорость двигателя, вычисляемая как производная от углового положения, измеренного энкодером.

Сам регулятор скорости реализован в виде пропорционально-интегрального (PI) контроллера. Это означает, что ошибка скорости умножается на коэффициент пропорционального усиления и одновременно интегрируется. В результате формируется управляющий момент, позволяющий корректировать фактическую скорость ротора в соответствии с заданным значением.

Ниже представлена блок-схема регулятора скорости.

Его выходом является опорное значение тока в квадратурном направлении.
Составляющие регулятора-скорости

• Входная физическая величина регулятора: