Опционы и формула Блэка-Шоулза (часть 2)

Часть 2

В части 1 мы обсудили трудности полученного уравнения:

1. Мы ничего не знаем о параметре дрейфа $\mu(t)$. Интуитивно это параметр «риска» для конкретной акции, монеты или токена (но формально параметр риска определяется иначе, ниже будет приведена формула). И этот параметр может зависеть от времени.

2. Текущее уравнение довольно сложно решить. Мы не можем просто интегрировать его, потому что в правой части есть непостоянные коэффициенты $\mu(t)S$ и $\sigma S$.

Давайте решать задачи одну за другой

DISCLAIMER: в этих статьях я пытаюсь дать интуицию что вообще происходит, поэтому во многих местах я специально опускаю математические формальности, чтобы не усложнять понимание.

Небольшое отступление

В своём телеграм канале делюсь ещё больше полезным контентом по сфере деривативов и децентрализованных финансов: https://t.me/kirrya_achieves

Давайте немного отвлечёмся и вспомним, как обычно определяется стоимость безрискового актива.

Безрисковый актив - это например бонды (= облигации). То есть такие инструменты, которые гарантированно приносят доход в будущем со ставкой , называющейся безрисковой процентной ставкой. Например такие инструменты используют чтобы уберечься от инфляции.

Для упрощения будем считать, что безрисковая процентная ставка постоянна.

Тогда дифференциальное уравнение для стоимости безрискового актива (бонда) определяется уравнением:

У бонда нету стохастической составляющей и дрифт равен , который всем известен (например  значит что безрисковая ставка равна 10% годовых).

Уравнение для цены рискового актива определялось так: 

Давайте представим, что было бы, если наш параметр  - не произвольная функция, а например безрисковая ставка .

То есть если бы наше уравнение выглядело так:

Тогда у нас стало бы на 1 неизвестную величину меньше и можно было бы уже пытаться решить это уравнение

В общем, было бы круто избавиться от неизвестного дрифта. Но можно можно ли как-то это сделать?

Оказывается, да!

Теорема Гирсанова позволяет это сделать.

Если вспомнить мат анализ (и опустить доп условия теорем), есть теорема, которая позволяет переходить между мерами (теорема Радона-Никодима), и "коэффициентом перехода" между мерами является производная Радона-Никодима:

ν, λ - меры Лебега.

В нашем случае производная Радона-Никодима уже будет не вещественной функцией, а стохастическим процессом.

Теорема Гирсанова и риск-нейтральная мера

Фактически, из уравнения

мы хотим получить

С первого взгляда кажется, что это невозможно. Оказывается, нам нужно просто перейти в другую вероятностную меру - "риск-нейтральную".

Сначала напомню, что такое мартингал.

Мартингал - это такой случайный процесс, в котором наилучшим предсказанием будущего значения является текущее значение.

У нас есть уравнение в мере :

Но _t - не мартингал в мере , потому что есть дрифт 

Вспомним что уравнение для цены бонда определяется так:

_t=_t

Наша цель:

Найти такую меру , чтобы в ней вообще никак не фигурировал параметр .

Давайте рассмотрим дисконтированную цену базового актива в мере: #{}

Такой процесс не является мартингалом в мере . Но если мы сделаем такой процесс мартингалом, то мы увидим, что в мере  мы избавимся от неизвестного дрифта .

Запишем дифференциальное уравнение для такого процесса. Применив лемму Ито для такого процесса, мы получаем:

Подставляя уравнения для _t и _t:

Упрощая это выражение и сокращая члены степени выше dt, получаем окончательную формулу для процесса {}:

А теперь самое главное

Заметим что если сделаем замену на:

то процесс

будет являться мартингалом.

Посмотрим теперь, как будет выглядеть процесс _t при такой замене меры.

Выражаем _t через_t и подставляем в уравнение для _t

Наконец, мы получаем

Почему dŴt является винеровским процессом по мере Q?

Теорема Гирсанова дает ответ на этот вопрос.

Пусть есть процесс {_t}_t∈[0,T], согласованный с фильтрацией, порожденной винеровским процессом {_t}_t∈[0,T] (в мере )

Определим "стохастическую экспоненту":

Если _t - это положительный мартингал и^P[_t], то _t - производная Радона-Никодима для перехода в меру 

и процесс

винеровский в мере  

То есть:

Мы сделали такую замену меры:

То есть в нашем случае

Это означает, что процесс _t задается следующим образом:

Несложно проверить, что процесс _t действительно является положительным мартингалом и имеет ^P[_t] :

1. рассмотрим E^P[_t] как произведение матожиданий экспонент.

2. заметить что один множитель является матожиданием лог-нормальной случайной величины, и тогда всё сократится.

А это значит, что процесс

действительно винеровский процесс с мерой .

Таким образом мы перешли в такую вероятностную меру, где неизвестный параметр  становится равным процентной ставке. Более того, мы изначально рассмотрели дисконтированную цену _T в такой мере, в которой дисконтированная цена будет мартингалом. Именно поэтому такая мера ещё называется мартингальной.

P.S. цена должна быть именно дисконтированной.

Итак, мы решили проблему 1.

Мы нашли меру, в которой дрифт из неизвестной функции μ превращается в безрисковую процентную ставку r.

Осталась проблема 2.

Теперь, когда нет неизвестной функции