Почему правило «если мне 20 раз выпал орёл, то в 21-ый точно выпадет решка», в действительности, не работает

Сразу предупрежу, что это статья не про программирование. Она про некоторые аспекты комбинаторики и теории вероятностей.

Почему эта статья вообще возникла:

Люблю я смотреть одного ютубера, нравится мне он очень. И вот, давеча, мы час в прямом эфире сейвскамом пытались выбить из контейнера айтем с наилучшими характеристиками. Ему всё не везло и не везло, и через какое-то время он начал рассказывать, что ему скоро должно повезти, потому что вероятность того, что ему будет не везти так долго -- становится всё более абсурдно невозможной. Мы с частью чата пытались его переубедить, но у нас что-то не получилось... Потому что его аргументы, должен признать, звучали убедительно... На тот момент... А потом я провёл некоторые вычисления, и всё встало на свои места. Итак, давайте же разберёмся.

Дисклеймер:
В данной статье мы будем рассматривать идеальные сферические случаи в вакууме. То есть мы не будем учитывать трение воздуха, импульсы, изначальное положение монетки. А сундук (т.к. речь идёт про сейвскам) не помнит о том, что он генерировал до этого. И предположим для удобства, что шанс каждого варианта айтема равнозначен.

Про ситуации, когда шансы улучшаются с каждой новой попыткой весьма интересно рассказал комментатор @Mak2023Es, предлагаю ознакомиться

Для начала, немного терминологии:

В комбинаторике задачи вроде

• Сколько возможных уникальных комбинаций четырёхзначного пин-кода можно получить, имея циферблат с 10-ю цифрами

• Сколько возможных последовательностей из 20 элементов можно получить, бросая кубик или монетку

относятся к категории "Размещение с повторением". У этой категории есть два условия:

1. Порядок важен (123 и 132 -- это разные комбинации)

2. Элементы могут повторяться (то есть если нам выпала шестёрка - это не значит, что шестёрка нам больше в этой последовательности не упадёт, но так же и не значит, что она ну уж точно обязана выпасть ну хотя бы ещё разочек)

Как это всё считается:

Если мы хотим посчитать количество возможных комбинаций, то мы берём количество вариантов значения в одном элементе последовательности (например, кубик может нам выдать 6 значений, а монетка 2), и умножаем на себя столько раз, сколько элементов в последовательности. То есть возводим в степень. Таким образом, если у нас на циферблате 10 цифр, то можно составить 10^4 уникальных четырёхзначных комбинаций.

Если же нас интересует вероятность конкретной комбинации -- то мы делаем то же самое, но возводим в степень не количество вариантов, а шанс конкретного. Шанс того, что кубик выдаст тройку -- 1/6, шанс получить орла -- 1/2. Таким образом, вероятность получить последовательность из трёх орлов равна 0.5^3 == 0.125

С теорией закончили, вернёмся к монетке.

Вообще, уже давно все математики говорят, что вероятность события не учитывает контекст прошлых событий. Вселенная не осаживает везунчиков и не жалеет неудачников. Когда мы бросаем монетку - у нас всегда шанс 50/50. А вот это вот всё "ну не может 6 раз подряд вырасть орёл, и на седьмой раз тоже орёл" -- это исключительно наше когнитивное искажение, ибо мы привыкли во всём искать закономерности. Но такие объяснения мало кого проймут. Так в чём же фундаментальная ошибка такого мышления? Давайте на примере.

Вот мы бросили 5 раз монетку, и 5 раз нам выпала решка (будем обозначать буквой Р). То есть у нас есть комбинация РРР РР. Вероятность такой комбинации -- 0.5^5 == 0.03125
Мы собираемся бросить монетку ещё раз, и мы ТОЧНО УВЕРЕНЫ, что НУ ШЕСТОЙ раз решка ТОЧНО НЕ выпадет. Потому что это уже последовательность РРР РРР, вероятность которой -- 0.5^6 == 0.015625. Ну меньше же, ну! Поэтому мы ожидаем орла (будем обозначать буквой О).

А теперь внимательно следим за руками: РРР РРО -- это точно такая же последовательность, и для неё точно так же просчитывается вероятность:
0.5^5 (5 Р подряд) * 0.5 (а вот это уже О). И что мы получаем? Мы получаем всё те же 0.5^6.

Итак, вероятность РРР РРР (0.5^6) == РРР РРО (0.5^6), а значит -- и правда, каждый бросок монетки имеет шанс 50/50 вне зависимости от того, что выпадало раньше. Монетка - не git, она ничего не помнит.

Но дальше только хуже. До примеров с монеткой мы всем стримом скатились когда пытались пояснить друг другу за вероятности. Аргументы ютубера звучали довольно убедительно, потому что он оперировал, скорее, не вероятностью сиюминутного "броска", а не-вероятностью последовательности из, ну, не соврать, сотни неудач подряд. Но в чём же проблема?

А проблема в том, что мы просто не любим считать. Вот есть у нас сундук, из которого мы хотим вытащить что-то хорошее. Это для нас успех. А всё не хорошее -- это для нас провал. Наш мозг всё упрощает и низводит всё до монетки: мы можем либо преуспеть, либо провалиться. А значит, шансы близки к 50/50. Умом-то мы понимаем, что это не так, но задумываться как-то не приходится.

Давайте на примере.

Дело было с киберпанком и попыткой вытащить оружие уровня 5++ с двумя пустыми дырками под модификации. Что мы имеем:

Оружие может выпасть одного из следующих уровней:

1. 4

2. 4+

3. 4++

4. 5

5. 5+

6. 5++

Конфигурация дырок может быть одной из следующих:

1. 0 дырок

2. 1 дырка

3. 1 дырка, но она занята

4. 2 дырки

5. 2 дырки, но одна занята

6. 2 дырки, но они обе заняты.

Очевидно, что результирующее оружие - это комбинация этих двух аспектов. Итого, мы на выходе получаем 6 * 6 == 36 вариантов того, что может выпасть. Из них нас интересует только 1

Это значит, что шанс успеха у нас -- 1/36 -- 0.0277777(...)

А все остальные варианты, какими бы они ни были -- нам не подходят, и считаются провалом. Следовательно, вероятность провала == 1 - 1/36 == 35/36 == 0.9722222(...)

Заметили, в чём подвох? Даже не близко к 50/50. Но дальше ещё круче

Почему же принцип "если мне столько раз не везло, то вот сейчас вот НУ ТОЧНО повезёт" не работает, и почему с такой установкой в казино вам нельзя идти ни в коем случае:

Что такое "мне не везло, а потом повезло" с точки знеия комбинаторики?
Пусть Н - "не повезло", а П - "Повезло".

Если нам повезло с первого раза - наша последовательность -- П
Если нам не повезло, а потом повезло -- НП
Повезло только с третьего раза -- ННП
С шестого -- ННН ННП

Заметили?

Вот вероятности:

А вот, для сравнения, вероятности провалов:

Заметили? Хоть шансы провала и падают, но шансы успеха ТОЖЕ ПАДАЮТ!

Я тут немножко повозился с html и js и нарисовал график. Заранее извиняюсь за красоту, но я бэкендер, мне можно :D

В принципе, я прогнал 500 итераций, и получил под конец вот такое:

Как видно, чем больше мы "играем" в эту рулетку - тем меньше наши шансы на победу. Да, на проигрыш шансы тоже уменьшаются, но они всё равно сильно выше.

В общем, я надеюсь, у меня получилось и себе и вам объяснить, почему этот обман мозга на самом деле не имеет ничего общего с действительностью, и как правильно считать вероятности провала, когда провальных результатов больше, чем один.