Stacks Project — учебник по алгебраической геометрии с открытым исходным кодом

Последние 15 лет профессор Колумбийского университета Йохан де Йонг посвятил тому, что собирал основополагающие теоремы алгебраической геометрии в одном месте. Его творение, Stacks Project, предлагает новую модель организации и визуализации математических сведений.

К старту флагманского курса по Data Science рассказываем о проекте профессора.

В начале пандемии Stacks Project пересёк новый рубеж: 7000 страниц из разделов, теорем, лемм и доказательств. Но, в отличие от предшествующих тысячных отметок, эту не отпраздновали.

«Грустно, но мы знаем, почему, — написал в своём блоге де Йонг. — Главным новым дополнением, которое помогло нам преодолеть раздражающие трудности, стала глава о производных категориях переменных. Надеюсь, она вам понравится».

С этим радостным обновлением Йохан де Йонг вернулся к работе и устремил взгляд на новые трудности. Проект на 7300 страниц выглядит как традиционный учебник, но щёлкните по 114 главам — и на экран посыплются уравнения и комментарии, по кусочкам раскрывающие шесть десятилетий науки.

Stacks Project стал столь популярным среди геометров — так себя называют математики, которые специализируются на алгебраической геометрии, — что вдохновил на прорывы в других областях. Сайт Kerodon смоделирован после Stacks Project, и его создатели надеются: он сделает для топологии то же, что Stacks Project сделал для алгебраической геометрии.

«Stacks Project — потрясающая новая модель хранения и распространения большого объёма знаний», — считает математик Института перспективных исследований и создатель проекта Kerodon Джейкоб Лурье.

Американское математическое общество недавно удостоило Йонга своей высшей награды — Премии Стила [в номинации «За математическое изложение»].

«Материал не плоский, каким он был тысячи лет, — рассказывает профессор математики из Калифорнийского университета в Сан-Диего Киран Кедлая. — Всё разбито на части со ссылками. Этот слой организации позволяет искать наугад. Он снижает пороги входа даже для людей, работающих над темой».

«Без Йонга Project Stacks не было бы», — утверждает Макс Либлих, профессор Вашингтонского университета и бывший студент Йохана.

Случайный читатель найдёт на Project Stacks лишь несколько знакомых имён — Пифагора или Гаусса. Но математика представлена перед нами треугольниками и кривыми, заложена в повседневную жизнь: криптография основана на эллиптических кривых, которые описываются алгебраической геометрией; карты улиц; программное обеспечение распознавания лиц использует алгебраическую геометрию, чтобы реконструировать трёхмерный мир на плоском экране.

В своей основе алгебраическая геометрия изучает круги и другие простые фигуры, которые описываются уравнениями, например x² + y² = 1. В 1960-x французский математик Александр Гротендик в труде «Элементы алгебраической геометрии» заложил фундамент современной алгебраической геометрии. В нём Гротендик представил теорию схем, комбинацию алгебры и геометрии для описания фигур как обычных кругов или как необычных многообразий с бесконечной размерностью, которые определяются мнимыми числами. 

Алгебраические стеки появились в 1970-x, когда математики осознали необходимость в гибком способе классификации фигур в более абстрактных ситуациях. Стеки, например, позволяют рассчитать, сколькими способами на недеформированной плоскости можно расположить два треугольника одинаковой формы.

Но теория алгебраических стеков никогда не излагалась столь же исчерпывающе, как это сделал Гротендик со схемами. В 2008 году Йонг исправил это. «Я подумал, что неплохо было бы собрать все эти результаты в одном месте, чтобы было легче ссылаться на них», — рассказывает Йонг.

11 лет спустя, написав последнее уравнение, он осознал, как много ещё предстоит сделать: исправить ошибки, выстроить определения, добавить понятия и ссылки. «В некоторой степени это то, что я делаю сейчас, — рассказывает он, — и как будто не могу остановиться».

Один из факторов, подпитывающих страсть Йонга, — огромные размеры задачи. Проект на 7300 страниц охватывает только половину алгебраической геометрии в виде стеков. Другой мотивирующий фактор — мгновенная публикация онлайн. Благодаря гиперссылкам и облаку тегов Stacks Project — это интерактивный документ, требующий обновлений и поправок так же, как растения требуют воды и солнечного света.

«Stacks Project не статичен, потому что не статична алгебраическая геометрия, — рассказывает Кедлайа, бывший студент Йонга. — Тема продолжает расширяться, даже на уровне основ. Система построена для бесконечного расширения, новый материал для включения есть всегда».

И красота системы в том, что, как бы она ни росла, благодаря предложенной Кэти О’Нил системе тегов поиск по Stacks Project останется простым. Кэти — автор бестселлера Weapons of Math Destruction и, как оказалось, жена де Йонга.

Stacks Project — онлайн-Библия алгебраической геометрии, созданная и поддерживаемая Йоханом де Йонгом, позволяет математикам визуализировать понятия и видеть их связи между собой. Здесь вы видите знаменитый результат из коммутативной алгебры на Stacks Project: логические следствия доказательства структурной теоремы Коэна для полных локальных колец. Тег верхнего уровня, 032А, представляет теорему; стрелки показывают, как соединяются понятия

«Начинаешь видеть структуру математики, возникающую из этого документа», — рассказывает профессор математики из Вашингтонского университета, Макс Либлих.

Не всякий готов взять на себя сизифов труд такой величины. Коллеги описывают де Йонга как упорного, настойчивого и увлечённого преподаванием человека, который принимает до 4 раз больше студентов как равных себе аспирантов, отказываясь дважды преподавать курс с одним и тем же подходом. В один учебный год профессор вёл занятия второго семестра в стиле серий «Спроси у меня что-нибудь». Говорят, что важную роль в успехе Stacks Project сыграл преподавательский стаж Йонга, который освободил профессора от связанной с публикациями академической работы.

И эти требовательные стандарты Йонга отличают Stacks Project от других краудсорсинговых публикаций в сети. «Йохан рассвирепел, когда я назвал проект Stackopedia, — делится Кедлая. — Он читает каждую попадающую в проект строку».

Модель с одним редактором позволяет Stacks Project поддерживать единственное мнение и высокий уровень контроля качества. Но, в отличие от рецензируемой литературы, в которой всё пытаются загнать в одно место, Stacks Project создан развиваться. Эти накопления знания и после ухода Йонга будут долго расти.

«Я хочу, чтобы проект был живым и продолжал меняться», — говорит Йонг о своём творении.

Продолжить изучение математики вы сможете на наших курсах:

• Профессия Data Scientist

• Курс «Математика и Machine Learning для Data Science»

Узнайте подробности здесь.